ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65551
Темы:    [ Пересекающиеся окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Признаки подобия ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Три окружности проходят через точку X. A, B, C – точки их пересечения, отличные от X. A' – вторая точка пересечения прямой AX и описанной окружности треугольника BCX. Точки B' и C' определяются аналогично. Докажите, что треугольники ABC', AB'C и A'BC подобны.


Решение

  Чтобы не рассматривать случаи взаимного расположения точек, прямых и окружностей, воспользуемся ориентированными углами.
  ∠(AB, BC') = ∠(AX, XC') = ∠(AX, XC) = ∠(AB', B'C),  ∠(BA, AC') = ∠(BX, XC') = ∠(B'X, XC) = ∠(B'A, AC).
  Если у треугольников ABC' и AB'C одинаковая ориентация, то предыдущие равенства означают, что их углы равны, и треугольники подобны. А если ориентация разная, то равенства означают, что два внутренних угла одного треугольника равны двум внешним углам другого. Но это невозможно, поскольку сумма двух внутренних углов меньше 180°, а двух внешних – больше.
  Подобие треугольников ABC' и A'BC доказывается аналогично.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 26
Дата 2004/2005
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .