ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65526
Темы:    [ Пирамида (прочее) ]
[ Признаки перпендикулярности ]
[ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Каждая боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником, в котором прямой угол примыкает к основанию пирамиды. В пирамиде проведена высота. Может ли она лежать внутри пирамиды?


Решение

  Пусть основанием пирамиды SA1...An является многоугольник A1...An (см. рисунки). Возможны два случая.
  1) Соседние углы в двух соседних боковых гранях – прямые. Пусть, например,  ∠SA2A1 = ∠SA2A3 = 90°  (рис. слева). Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости  SA2A1A2A3,  то есть SA2 – высота пирамиды, и она принадлежит боковой поверхности пирамиды.

  2) В любых двух соседних боковых гранях прямые углы не имеют общей вершины. Пусть в прямоугольных треугольниках SAnA1, SA1A2, ..., SAn–1An вершинами прямых углов являются точки A1, A2, ..., An соответственно (рис. справа). Воспользуемся тем, что гипотенуза больше катета. Тогда из треугольника SA1A2  SA1 > SA2,  из треугольника SA2A3  SA2 > SA3,  и так далее.
  Записав аналогичные неравенства для каждой боковой грани, получим  SA1 > SA2 > ... > SAn > SA1,  то есть  SA1 > SA1.  Противоречие.
  Таким образом, внутри данной пирамиды высота лежать не может.


Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2015
класс
Класс 11
задача
Номер 11.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .