ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65361
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность, проходящая через вершины A, B и точку пересечения высот треугольника ABC, пересекает стороны AC и BC во внутренних точках.
Докажите, что  60° < ∠C < 90°.


Решение 1

  Пусть A' и B' – точки пересечения окружности со сторонами BC и AC соответственно. Тогда угол C равен полуразности дуг AB и A'B'. Поскольку на дугу AB опирается угол между высотами треугольника, равный  180° – ∠C,  то  180° – ∠C > ∠C,  то есть  ∠C < 90°.
  С другой стороны, угол C больше угла между касательными к окружности в точках A и B, который по теореме о вписанном и центральном углах равен
180° – 2∠C.  Следовательно,  ∠C > 60°.


Решение 2

  Пусть угол C не меньше прямого, тогда H лежит вне треугольника или совпадает с C. В обоих случаях точки пересечения не лежат внутри сторон.
  Поскольку  ∠AA'B = ∠BB'A = ∠AHB= 180° – ∠C,  то  ∠AA'C = ∠BB'C = ∠C.  Но эти углы больше углов A и B как внешние углы треугольников AA'B и BB'A. Значит, C – наибольший угол треугольника ABC, то есть он больше 60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2015
класс
Класс 8
задача
Номер 8.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .