ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65241
Темы:    [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Нилов Ф.

На доске написаны  N ≥ 9  различных неотрицательных чисел, меньших единицы. Оказалось, что для любых восьми различных чисел с доски на ней найдётся такое девятое, отличное от них, что сумма этих девяти чисел целая. При каких N это возможно?

Решение

  Ясно, что при  N = 9  требуемое возможно – достаточно написать на доску 9 различных положительных чисел с единичной суммой. Покажем, что при  N > 9  требуемое невозможно.
  Предположим противное; обозначим через S сумму всех чисел на доске. Выберем на доске произвольные числа α1, α2, ..., α7 с суммой T; пусть A – множество всех остальных чисел на доске. По условию, для любого числа  β ∈ A  найдётся такое отличное от него число γ ∈ A,  что число  T + β+ γ  целое. Скажем, что число γ соответствует числу β. Заметим, что такое число γ единственно. Действительно, если бы нашлось другое число  γ' ∈ A,  для которого сумма  T + β + γ' целая, то число  γ – γ' = (T + β + γ) – (T + β + γ')  также было бы целым. Но это невозможно, ибо  0 < |γ – γ'| < 1.
  В частности, отсюда следует, что β соответствует числу γ. Значит, все числа в A разбиваются на пары чисел  (β1, γ1), ..., (βl, γl)  соответствующих друг другу. При этом  l > 1,  так как  N = 7 + 2l > 9.
  Рассмотрим сумму  Σ = (T + β1 + γ1) + (T + β2 + γ2) + ... + (T + βl + γl).  Σ – целое число. С другой стороны, каждое число из A входит в Σ ровно по разу; значит,  Σ = lT + (S – T) = S + (l – 1)T,  откуда  .
  Выбрав теперь на доске числа α2, α3, ..., α8 и обозначая их сумму через T', аналогично получим, что   при целом Σ'. Значит,  
  Так как α1 и α8 могли быть любыми двумя числами на доске, получаем, что разность каждых двух чисел на доске имеет вид     при целом k.
  Пусть μ – наименьшее число на доске. Тогда на доске могут присутствовать лишь числа    (все большие числа будут уже не меньше 1) – всего l чисел. Однако общее количество чисел на доске равно  N = 7 + 2l > l;  значит, они не могут быть различными. Противоречие.


Ответ

Только при  N = 9.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 9.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .