Задача 65237
|
|
 |
Условие
Натуральные числа a, x и y, большие 100, таковы, что y² – 1 = a²(x² – 1). Какое наименьшее значение может принимать дробь a/x?
Решение
Оценка. Первый способ. y² = a²x² – a² + 1 < (ax)², значит, y < ax. Но y и ax – целые числа, поэтому y ≤ ax – 1. Следовательно,
a²x² – a² + 1 = y² ≤ (ax – 1)² = a²x² – 2ax + 1. Стало быть, 2ax ≤ a², то есть a/x ≥ 2.
Второй способ. (ax – y)(ax + y) = a²x² – y² =
a² – 1. Числа a² – 1 и ax + y положительны, поэтому число k = ax – y также положительно (и натурально). Следовательно, Отсюда
поскольку 1 ≤ k ≤ a² – 1. Итак, 2ax ≤ a², то есть a/x ≥ 2.
Оценка достигается при x > 100, a = 2x, y = ax – 1 = 2x² – 1.
Ответ
2.
