ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65198
Темы:    [ Турниры и турнирные таблицы ]
[ Средние величины ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В турнире по футболу участвует 2n команд  (n > 1).  В каждом туре команды разбиваются на n пар и команды в каждой паре играют между собой. Так провели  2n – 1  тур, по окончании которых каждая команда сыграла с каждой ровно один раз. За победу давалось 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0 очков. Оказалось, что для каждой команды отношение набранных ею очков к количеству сыгранных ею игр после последнего тура не изменилось. Докажите, что все команды сыграли вничью все партии.


Решение

  Если добавление нового числа к набору чисел не меняет среднего арифметического, то новое число равно среднему арифметическому.
  Таким образом, если команда проиграла в последнем туре, то её срелний результат в туре равен 0, то есть она проиграла все партии (такая команда может быть только одна). Если такая есть, то выигравшая у неё в последнем туре команда имеет средний результат 3, то есть она выиграла все партии. Остальные команды в последнем туре сыграли вничью, то есть каждая из них в турнире набрала  2n – 1  очко.
  Таким образом, возможны два варианта: либо все 2n команд набрали по  2n – 1  очку, либо есть одна команда, которая выиграла у всех, одна команда, которая всем проиграла, а также  2n – 2  команды, которые набрали по  2n – 1  очку.
  Заметим, что суммарное количество набранных очков равняется  2n(2n – 1) + r,  где r – количество результативных партий в турнире. В первом случае  2n(2n – 1) + r = 2n(2n – 1),  то есть  r = 0,  что и требовалось.
  Во втором случае  2n(2n – 1) + r = (2n – 2)(2n – 1) + 3n,  откуда  r = 2 – n ≤ 0 , что невозможно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2015
Номер 78
класс
Класс 10
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .