Задача 65119

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Сендеров В.А.

Целые числа a, x₁, x₂, ..., x₁₃ таковы, что  a = (1 + x₁)(1 + x₂)...(1 + x₁₃) = (1 – x₁)(1 – x₂)...(1 – x₁₃).  Докажите, что  ax₁x₂...x₁₃ = 0.

Решение

  Если какое-то из чисел x_i равно 0, утверждение очевидно. Если одно из x_i равно ±1, то  a = 0,  и утверждение также верно. В противном случае каждое произведение отрицательно. Поэтому  a² = (1 + x₁)(1 + x₂)...(1 + x₁₃)(1 – x₁)(1 – x₂)...(1 – x₁₃)  – отрицательное число (как произведение 13 отрицательных чисел). Противоречие.

Замечания

Из условия не следует, что  a = 0  (даже в случае, если не все x_i – нули). Более того, неверно, что при  a ≠ 0  все ненулевые x_i разбиваются на пары противоположных. Например,  (1 – 3)(1 + 7)(1 + 8)(1 + 11)·1·1·1·1·1·1·1 = (1 + 3)(1 – 7)(1 – 9)(1 – 11)·1·1·1·1·1·1·1 = –1920.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2014/2015
этап
Вариант	4
класс
Класс	10
задача
Номер	10.1
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2014/2015
этап
Вариант	4
класс
Класс	11
задача
Номер	11.1