Задача 65060

Темы:    [ Задачи на движение ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

У реки живет племя Мумбо-Юмбо. Однажды со срочным известием в соседнее племя одновременно отправились молодой воин Мумбо и мудрый шаман Юмбо. Мумбо побежал со скоростью 11 км/ч к ближайшему хранилищу плотов и затем поплыл на плоту в соседнее племя. А Юмбо, не торопясь, со скоростью 6 км/ч, пошел к другому хранилищу плотов и поплыл в соседнее племя оттуда. В итоге Юмбо приплыл раньше чем Мумбо. Река прямолинейна, плоты плывут со скоростью течения. Эта скорость всюду одинакова и выражается целым числом км/ч, не меньшим 6. Каково наибольшее возможное её значение?

Решение

  Обозначим место обитания племени Мумбо-Юмбо через O, хранилище, к которому побежал Мумбо, через M, а хранилище, к которому пошел Юмбо, через U. Очевидно, что M находится выше по течению, чем O, а U ниже. Пусть расстояния от O до M и U равны x и y км соответственно
(x < y),  скорость реки равна v км/ч. На путь от O до U  Юмбо затратил ^y/₆ часов, а Мумбо –  ^x/₁₁ + ^x+y/_v  часов. Поскольку Юмбо попал в U раньше Мумбо, то  ^y/₆ < ^x/₁₁ + ^x+y/_v < ^y/₁₁ + ^2y/_v. Сократив на y и преобразовав, получаем  v < 26,4.

  Осталось проверить, что скорость реки могла равняться 26 км/ч. Для этого в неравенстве  ^y/₆ < ^x/₁₁ + ^x+y/_v  положим  v = 26  и равносильно преобразуем его к виду  ^y/_x < ¹¹¹/₁₁₀.  Последнее возможно (например, при  y = 1,12 км,  x = 1,11 км).

Ответ

26 км/ч.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада имени Леонарда Эйлера (для 8 классов)
год/номер
Номер	1 (2009 год)
тур
задача
Номер	1