Задача 65035

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Точка H – ортоцентр треугольника ABC. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников CHB и AHB в точке H, пересекают прямую AC в точках A₁ и C₁ соответственно. Докажите, что  A₁H = C₁H.

Решение

  Если угол B прямой, то условие не имеет смысла.
  Пусть угол B – острый. Из условия следует, что  ∠AHC₁ = ∠ABH.  Значит,  ∠C₁HB' = ∠AHB' – ∠ABH = ∠HAB = 90° – ∠B  (B' – основание высоты BB'). Аналогично  ∠B'HA₁ = 90° – ∠B,  то есть треугольник A₁HC₁ – равнобедренный.
  Случай тупого угла B рассматривается аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
тур
задача
Номер	9