Задача 64958

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Средняя линия треугольника ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

В треугольнике АВС точки М и N – середины сторон AC и ВС соответственно. Известно, что точка пересечения медиан треугольника AMN является точкой пересечения высот треугольника АВС. Найдите угол АВС.

Решение

  Пусть Н – ортоцентр треугольника АВС. Тогда высота АТ треугольника АВС содержит медиану треугольника AMN, то есть пересекает отрезок MN в его середине – точке Е. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Треугольники ЕТN и АТВ подобны (рис. слева), следовательно,  TN : TB = TE : TA = EN : AB = 1 : 4.  Следовательно, СТ = ½ BT.
  Поскольку H – точка пересечения медиан треугольника AMN,  ЕН = ⅓ АЕ = ET.  Следовательно,  HТ = ½ AT.
  Значит, прямоугольные треугольники СТН и ВТА подобны, и  ∠ТСН = ∠ТВА.  Но СН – часть высоты CQ треугольника АВС, поэтому эти равные углы являются острыми углами прямоугольного треугольника CQВ.

           

  Второй способ. Отметим точку K – середину стороны АВ (рис. справа). АМNK – параллелограмм, поэтому его диагональ MK проходит через середину AN, а значит, и через точку Н.
  Так как  МН || BC,  то треугольники ЕМН и ЕNT равны (по стороне и двум прилежащим углам), значит,  ЕН = ЕТ.  Медиана CK треугольника АВС проходит через точку Е и делится в ней пополам, поэтому CHKT – параллелограмм, то есть  TK || CH ⊥ AB.
 Таким образом, TK является высотой и медианой прямоугольного треугольника АТВ, значит, этот треугольник – равнобедренный.

Ответ

45°.

Замечания

Существуют и другие способы решения.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2014
класс
Класс	10
задача
Номер	10.5