Задача 64905

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Окружность с центром I касается сторон AB, BC, CA треугольника ABC в точках C₁, A₁, B₁. Прямые AI, CI, B₁I пересекают A₁C₁ в точках X, Y, Z соответственно. Докажите, что  ∠YB₁Z = ∠XB₁Z.

Решение

Так как  B₁I ⊥ AC,  достаточно доказать, что  ∠YB₁A = ∠XB₁C.  Так как CI – серединный перпендикуляр к A₁B₁, то  ∠YB₁C = ∠YA₁C.  Значит,
∠YB₁A = ∠C₁A₁B  (см. рис.). Аналогично  ∠XB₁C = ∠A₁C₁B = ∠C₁A₁B.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
тур
задача
Номер	3