|
|
 |
Условие
Ортоцентр H треугольника ABC лежит на вписанной в треугольник окружности.
Докажите, что три окружности с центрами A, B, C, проходящие через H, имеют общую касательную.
Решение 1
Пусть Ha, Hb, Hc – основания высот треугольника. Заметим, что AH·HHa = BH·HHb = CH·HHc (например, первое равенство следует из того, что точки Ha и Hb лежат на окружности с диаметром AB). Поэтому существует инверсия с центром H, переводящая точки A, B, C в Ha, Hb, Hc соответственно (в случае остроугольного треугольника надо взять композицию инверсии и центральной симметрии относительно H). При этой инверсии стороны треугольника перейдут в окружности с диаметрами AH, BH, CH, а вписанная окружность – в прямую, касающуюся этих окружностей. Искомая прямая получается из этой гомотетией с центром H и коэффициентом 2.
Решение 2
Пусть I – центр вписанной окружности, A1, B1, C1 – точки её касания со сторонами BC, AC, AB соответственно, а A2, B2, C2 – такие точки (на трёх окружностях из условия), что треугольник A1IH подобен треугольнику HAA2, треугольник B1IH – треугольнику HBB2 и треугольник C1IH – треугольнику HCC2 (подобные треугольники расположены так, что их стороны соответственно параллельны). Касательные в этих точках к этим окружностям параллельны касательной в H к вписанной окружности; достаточно доказать, что эти касательные совпадают, а для этого достаточно показать, что проекции векторов ,
и
на IH равны. Нетрудно видеть, что они сонаправлены. Поскольку HA2 составляет равные углы с IH и IA2, длина первой проекции равна длине проекции HA2 на AH, то есть 1/r AH·HHa. Аналогично вычисляются остальные проекции; осталось снова вспомнить, что AH·HHa = BH·HHb = CH·HHc.
