|
|
 |
Условие
Пусть ABCD – вписанный четырёхугольник. Докажите, что AC > BD тогда и только тогда, когда (AD – BC)(AB – CD) > 0.
Решение 1
Без ограничения общности можно считать, что дуги ABC и BCD не превосходят полуокружности. Тогда
⌣AD = 2π – ⌣ABC – ⌣BCD + ⌣BC > ⌣BC. Поскольку дуга ABC также больше дуги BC, AD > BC.
Теперь, если AC > BD, то ⌣ABC > ⌣BCD, ⌣AB > ⌣CD и AB > CD.
При AC < BD все неравенства меняются на противоположные.
Решение 2
Пусть AL – самый длинный из отрезков AL, BL, CL, DL (см. рис.). Тогда, в силу равенства AL·CL = BL· DL, CL – самый короткий из этих отрезков. Значит, AL – CL > |BL – DL|, откуда AC² = (AL + CL)² = (AL – CL)² + 4AL·CL > |BL – DL|² + 4BL·DL = (BL + DL)² = BD², то есть AC > BD. Кроме того, из подобия треугольников ALB и DLC получаем, что AB : CD = AL : DL, то есть AB > CD. Аналогично из подобия треугольников ALD и BLC получаем
AD > BC.
Решение 3
AC = 2R sin B, BD = 2R sin A, поэтому неравенство AC > BD эквивалентно неравенству sin B > sin A.
(AD – BC)(AB – CD) > 0 ⇔ AD·AB + BC·CD > AD·CD + BC·AB, что эквивалентно (домножим на ½ sin A sin B = ½ sin A sin D = ½ sin C sin B)
