ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64782
Темы:    [ Сфера, описанная около тетраэдра ]
[ Сферы (прочее) ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сфера ω проходит через вершину S пирамиды SABC и пересекает рёбра SA, SB и SC вторично в точках A1, B1 и C1 соответственно. Сфера Ω, описанная около пирамиды SABC, пересекается с ω по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости (ABC). Точки A2, B2 и C2 симметричны точкам A1, B1 и C1 относительно середин рёбер SA, SB и SC соответственно. Докажите, что точки A, B, C, A2, B2 и C2 лежат на одной сфере.


Решение 1

  Утверждение задачи эквивалентно равенству  SA2·SA = SB2·SB = SC2·SC.  Ввиду равенства  AA1 = SA2  и двух аналогичных, достаточно доказать, что  AA1·AS = BB1·BS = CC1·CS.
  Пусть l – прямая, проходящая через центры сфер Ω и ω. Окружность пересечения этих сфер лежит в плоскости, перпендикулярной l, так что  l ⊥ (ABC).  Это значит, что при повороте вокруг l описанная окружность треугольника ABC переходит в себя, и подходящим таким поворотом можно точку A перевести в B. Пусть точки S и A1 при этом повороте переходят в S' и A'1 (они тоже лежат на ω, рис. слева). Тогда  AA1·AS = BA'1·BS' = BB1·BS.
  Равенство  AA1·AS = CC1·CS  доказывается аналогично.

           


Решение 2

  Обозначим через O1 и O центры сфер ω и Ω соответственно. Как и в первом решении, введём прямую l, проходящую через O и O1; тогда  l ⊥ (ABC).
  Пусть O2 – точка, симметричная O1 относительно O. Тогда O2 лежит на l, откуда  O2A = O2B = O2C;  обозначим  r = O2A.  Проекции точек O2 и O1 на SA симметричны относительно проекции точки O, то есть относительно середины A' отрезка SA. Так как проекция точки O1 является серединой отрезка SA1, из симметрии относительно A' получаем, что проекция точки O2 – это середина отрезка AA2. Значит,  A2O2 = AO2 = r.  Аналогично показывается, что  B2O2 = C2O2 = r.  Значит, требуемые шесть точек лежат на сфере с центром O2 и радиусом r.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2013-2014
этап
Вариант 5
класс
Класс 11
задача
Номер 11.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .