Задача 64706

Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Заславский А.А.

Биссектрисы AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. На отрезках A₁I и B₁I построены как на основаниях равнобедренные треугольники с вершинами A₂ и B₂, лежащими на прямой AB. Известно, что прямая CI делит отрезок A₂B₂ пополам. Верно ли, что треугольник ABC – равнобедренный?

Решение

  Покажем, что условию удовлетворяет любой треугольник с углом C, равным 120°. Пусть CC₁ – биссектриса угла C. Тогда CA₁ – внешняя биссектриса угла ACC₁, то есть точка A₁ равноудалена от прямых AC и CC₁. Но она также равноудалена от прямых AC и AB, поэтому C₁A₁ – биссектриса угла CC₁B.
  Значит, точка J, симметричная I относительно C₁A₁, лежит на прямой AB (см. рис.). Заметим, что
∠AA₁C₁ = ∠A₁C₁B – ∠A₁AB = ½ (∠CC₁B – ∠CAB) = ½ ∠ACC₁ = 30°,  откуда  ∠IA₁J = 2∠AA₁C₁ = 60°.  Поскольку в равнобедренном треугольнике IA₁J угол равен 60°, он равносторонний,  IJ = A₁J,  и потому A₂ совпадает с J. Таким образом,  A₂C₁ = JC₁ = IC₁.  Аналогично,  B₂C₁ = IC₁.

Ответ

Неверно.

Замечания

Можно показать, что в треугольнике, удовлетворяющем условию задачи, обязательно либо  AC = BC,  либо  ∠C = 120°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2010
класс
Класс	8
задача
Номер	8.8