Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O. Точки E и F – середины не содержащих других вершин дуг AB и CD соответственно. Прямые, проходящие через точки E и F параллельно диагоналям четырёхугольника ABCD, пересекаются в точках K и L. Докажите, что прямая KL содержит точку O.

   Решение

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. Пусть K, L, M, N – середины соответственно сторон AB, BC, CD, AD.
Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников PKL, PLM, PMN и PNK равны.

Решение

  Треугольники BAP и CDP подобны по двум углам, поэтому подобны и их "половинки" KAP и MDP. Следовательно,  ∠APK = ∠DPM.
  KL || AC,  ML || BD,  значит,  ∠LKP = ∠APK = ∠DPM = ∠LMP.
  Итак, углы LKP и LMP, опирающиеся на отрезок LP, равны. Значит, и радиусы описанных окружностей треугольников PKL и PLM равны. Остальные равенства доказываются аналогично.

Замечания

1. 6 баллов.

2. Задача также предлагалась в Задачнике "Кванта" (Квант, 2008, №2, зад. М2082).

Источники и прецеденты использования