Задача 64543

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы:

Условие

Высоты AD и BE остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Описанная окружность треугольника ABH, пересекает стороны AC и BC в точках F и G соответственно. Найдите FG, если  DE = 5 см.

Решение

  Пусть  ∠FAH = ∠HBF = α.  Прямоугольные треугольники ADC и ECB имеют общий угол C, поэтому  ∠EBC = α.
  Таким образом, BE – высота и биссектриса треугольника FBC, следовательно, этот треугольник равнобедренный и BE является его медианой, то есть
FE = EC.  Аналогично  CD = DG.  Значит, ED – средняя линия треугольника FCG. Поэтому  FG = 2DE.

Ответ

10 см.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2013
класс
Класс	9
задача
Номер	9.5