|
|
 |
Условие
Вневписанная окружность, соответствующая вершине A прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°), касается продолжений сторон AB, AC в точках A1, A2 соответственно; аналогично определим точки C1, C2. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые C1C2, A1C1, A1A2 соответственно, пересекаются в одной точке.
Решение
Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, D – четвёртая вершина прямоугольника ABCD. Так как AI ⊥ A1A2, CI ⊥ C1C2, то перпендикуляры, опущенные из точки A на CC1 и из точки C на AA1 пересекаются в центре J окружности, вписанной в треугольник ACD. Поэтому достаточно доказать, что DI ⊥ A1C1. Пусть X, Y, Z – проекции I на прямые AB, BC, CD соответственно. Как известно (см. задачу 55404), BC1 = XC2 = ZD и A1B = CY = IZ, значит, треугольники A1BC1 и IZD равны и ∠IDZ = ∠A1C1B (см. рис.). Отсюда и следует искомая перпендикулярность.
