Задача 64445

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Фольклор

На сторонах треугольника ABC построены три подобных треугольника: YBA и ZAC – во внешнюю сторону, а XBC – внутрь (соответственные вершины перечисляются в одинаковом порядке). Докажите, что AYXZ – параллелограмм.

Решение

Поскольку треугольники XBC и ZAC подобны,  CX : CZ = CB : CA.  Кроме того,  ∠XCZ = ∠BCA – ∠BCX + ∠ACZ = ∠BCA.  Поэтому треугольник XCZ подобен треугольнику BCA, откуда  CX : XZ = CB : BA.  А из подобия треугольников XBC и YBA следует, что  CX : YA = CB : BA.  Таким образом,
CX : YA = CB : BA = CX : XZ,  откуда  YA = XZ.  Аналогично доказывается, что  YX = AZ.  Итак, у четырёхугольника YXZA противоположные стороны попарно равны, то есть он – параллелограмм.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	35
Дата	2013/2014
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2