Задача 64364
|
|
 |
Условие
Положительные числа a, b, c и d удовлетворяют условию 2(a + b + c + d) ≥ abcd. Докажите, что a² + b² + c² + d² ≥ abcd.
Решение
Возможны два случая.
1) abcd ≥ 16. Тогда по неравенству между средними квадратичным и арифметическим a² + b² + c² + d² ≥ 4(a+b+c+d/4)² ≥ 4(abcd/8)² = 1/16 (abcd)² ≥ abcd.
2) abcd < 16. Тогда
Замечания
Утверждение задачи верно для произвольных (не обязательно положительных) действительных чисел a, b, c, d.
