ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61350
Темы:    [ Взвешивания ]
[ Четность и нечетность ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Системы линейных уравнений ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Имеются 13 гирь. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть на каждую, что наступит равновесие.
Докажите, что все гири имеют одну и ту же массу, если известно, что:
  а) масса каждой гири равна целому числу граммов;
  б) масса каждой гири равна рациональному числу граммов;
  в) масса каждой гири может быть равна любому действительному (неотрицательному) числу.


Решение

  а) Набор весов гирь удовлетворяет некоторой системе из 12 линейных уравнений. Заметим, что все решения этой системы (наборы из 13 целых чисел) удовлетворяют следующим свойствам.
  1) Все числа набора – одной чётности. Действительно, вычитая из суммы всех 13 чисел каждое из них, мы всегда получаем чётное число.
  2) Если все числа набора чётные, то поделив их на 2, мы снова получим решение той же системы.
  3) Если из всех чисел набора вычесть одно и то же целое число, мы снова получим решение той же системы.
  Пусть у нас имеется некоторое решение системы в натуральных числах. Вычтем из всех чисел набора наименьшее из них. Получим решение, где одно из чисел набора равно нулю. Согласно свойству 1) – остальные числа – чётные. Предположим, что среди них есть ненулевое число. Тогда разделив несколько раз все числа на 2, мы в конце концов получим набор, в котором есть как нечётное число, так и чётное (0). Противоречие со свойством 1.
  Значит, все числа набора равны нулю, а следовательно, в исходном решении все числа были равны.

  б) Рассмотрим число n, равное общему знаменателю всех весов гирь. Введя новую меру веса, равную 1/n, мы сведём задачу к п. а).

  в) Рассмотрим соответствующую систему из 12 линейных уравнений с 13 неизвестными. Это – однородная система с целыми коэффициентами. Всякое её решение удовлетворяет условиям задачи. Система имеет много решений: подходит, например, любой набор из равных чисел.
  Упростим систему равносильными преобразованиями. Первое уравнение дает возможность представить одно из неизвестных в виде линейной комбинации остальных. Подставим это выражение в остальные уравнения (при этом некоторые могут стать тождествами). Повторим процедуру и так до тех пор, пока уравнений не останется. В итоге останутся k неизвестных, чьи значения можно задавать свободно, а остальные являются их линейными комбинациями с рациональными коэффициентами (поскольку они получены арифметическими действиями из рациональных дробей).   Ясно, что  k > 0,  иначе решение было бы единственным.   Если  k = 1,  то по тем же причинам полученная система обязана иметь вид:  x1 = x2 = ... = x13.  Значит, исходные веса гирь были равны.
  Допустим,  k > 1.  Тогда можно придать свободным неизвестным рациональные значения так, что в полученном наборе рациональных чисел не все будут равны. Но это противоречит п. б).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 9
Название Уравнения и системы
Тема Неопределено
параграф
Номер 4
Название Системы линейных уравнений
Тема Системы линейных уравнений
задача
Номер 09.100

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .