Задача 61106

Темы:    [ Многочлены Чебышева ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Тригонометрические уравнения ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Последовательность многочленов  P₀(x) = 1,  P₁(x) = x,  P₂(x) = x² – 1, ...  задается условием  P_n+1(x) = xP_n(x) – P_n–1(x).
Докажите, что уравнение  P₁₀₀(x) = 0  имеет 100 различных действительных корней на отрезке  [–2, 2].  Что это за корни?

Подсказка

P_n(x) = U_n(^x/₂),  где U_n – многочлен Чебышёва (см. задачу 61099).

Решение

Последовательности многочленов P_n(x) и U_n(^x/₂) удовлетворяют одним и тем же начальным условиям и тому же рекуррентному соотношению (см. задачу 61100). Следовательно, они совпадают. Поcкольку  sin 101φ = sin φ U_n(cos φ),  то подставив  x = 2 cos φ  в уравнение  P₁₀₀(x) = 0,  получим  sin 101φ = 0.  Корни этого уравнения  φ_k = ^kπ/₁₀₁,  поэтому исходное уравнение имеет 100 корней:  x_k = 2cos(^kπ/₁₀₁)  (k = 1, 2, ..., 100).  Поскольку больше 100 корней многочлен 100-й степени иметь не может, то корень  x₀ = 2  является посторонним (он возник из за умножения на  sin φ).

Замечания

Нетрудно проверить, что  P_n(2) = n + 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.042