Задача 61076

Темы:    [ Классические неравенства (прочее) ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что при любых вещественных a_j, b_j  (1 ≤ j ≤ n)  выполняется неравенство

Решение 1

Рассмотрим векторы  u_i = (a_i, b_i). Тогда у нас написано неравенство треугольника: |u₁ + … + u_n| ≤ |u₁| + … + |u_n|.

Решение 2

После возведения обеих частей в квадрат и приведения подобных членов задача сводится к доказательству неравенства

   

Для этого достаточно проверить, что     Но это – частный случай неравенства Коши-Буняковского (см. задачу 61402 a).

Замечания

После возведения в квадрат и приведения подобных последнее неравенство сводится к неравенству Коши:  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.012