Задача 61009

Темы:    [ Разложение на множители ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что при нечетном m выражение  (x + y + z)^m – x^m – y^m – z^m  делится на  (x + y + z)³ – x³ – y³ – z³.

Решение

(x + y + z)³ – x³ – y³ – z³ = 3(x + y)(x + z)(y + z)  (см задачу 61005 ж). По теореме Безу (см. задачу 60961) данный многочлен делится на
x + y,  x + z  и  y + z,  а значит, и на их произведение.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	3
Название	Разложение на множители
Тема	Формулы сокращенного умножения
задача
Номер	06.086