|
|
 |
Условие
Докажите, что корни уравнения
а) (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – a)(x – c) = 0;
б) c(x – a)(x – b) + a(x – b)(x – c) + b(x – a)(x – c) = 0
всегда вещественные.
Решение
а) Первый способ. Обозначим через f(x) левую часть уравнения. Коэффициент при x² положителен, поэтому ветви параболы направлены вверх. Пусть d – среднее по величине из чисел a, b, c. Тогда f(d) < 0, то есть часть параболы находится ниже оси абсцисс.
Второй способ. Запишем уравнение в виде 3x² – 2(a + b + c)x + (ab + aс + bc) = 0. Его дискриминант равен 4((a + b + c)² – 3(ab + aс + bc)). Таким образом, надо проверить неравенство (a + b + c)2 ≥ 3(ab + aс + bc), которое после раскрытия скобок и приведения подобных приводится к известному неравенству a² + b² + c² ≥ ab + aс + bc (см. задачу 30865).
б) Запишем уравнение в виде (a + b + c)x² – 2(ab + aс + bc)x + 3abс = 0. Проверка неотрицательности дискриминанта сводится к проверке неравенства a²b² + b²c² + a²c² ≥ a²bс + ab²с + abc², которое которое является частным случаем вышеприведённого неравенства a² + b² + c² ≥ ab + aс + bc.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 6 |
| Название | Многочлены |
| Тема | Многочлены |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Квадратный трехчлен |
| Тема | Неизвестная тема |
| задача | |
| Номер | 06.020 |
