Задача 60931

Темы:    [ Квадратные уравнения и системы уравнений ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Пусть  f(x) = x² + px + q.  При каких p и q выполняются равенства  f(p) = f(q) = 0?

Решение

  Первый способ. Из условия  2p² + q = q² + pq + q = 0.  Отсюда  2p² – pq – q² = (2p + q)(p – q) = 0.
  При  p = q  получаем  2p² + p = 0,  то есть  p = 0  или  p = – ¹/₂.
  При  q = – 2p  получаем  2p² – 2p = 0,  то есть  p = 0  или  p = 1.

  Второй способ. Рассмотрим два случая.
  1) p и q – различные корни уравнения. Тогда по теореме Виета  p + q = – p,  pq = q.  Если  q = 0,  то  p = 0,  что не соответствует разбираемому случаю. Значит,  p = 1,  q = – 2.
  2)  p = q.  Тогда  2p² + p = 0,  откуда  p = q = 0  или  p = q = – ¹/₂.

Ответ

(0, 0),  (– ½, – ½),  (1, – 2).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	1
Название	Квадратный трехчлен
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.008