Задача 60928

Темы:    [ Симметрические многочлены ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Методы решения задач с параметром ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения  x² + 2ax + 2a² + 4a + 3 = 0  является наибольшей? Чему равна эта сумма? (Корни рассматриваются с учётом кратности.)

Решение

Уравнение имеет корни, когда  ^D/₄ = a² – (2a² + 4a + 3) = – (a² + 4a + 3) ≥ 0,  то есть при  –3 ≤ a ≤ –1.  Сумма квадратов корней равна
(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = (2a)² – 2(2a² + 4a + 3) = – 8a – 6.  Это выражение принимает наибольшее значение при наименьшем возможном  a = –3.

Ответ

18 при  a = –3.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	1
Название	Квадратный трехчлен
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.005