ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60868
Темы:    [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Метод спуска ]
[ Доказательство от противного ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан лист клетчатой бумаги. Докажите, что при  n ≠ 4  не существует правильного n-угольника с вершинами в узлах решетки.


Решение

  Случай  n = 3  разобран в задаче 60867. Отсюда сразу следует невозможность существования правильного 3k-угольника (в частности, шестиугольника) с вершинами в узлах решетки.
   Пусть  n ≠ 3, 4, 6.  Предположим, что удалось построить правильный n-угольник с вершинами в узлах. Далее можно рассуждать по разному.

  Способ 1. Для трёх последовательных вершин A, B, C нашего n-угольника построим параллелограмм ABCD. Его четвёртая вершина D, очевидно, тоже попадает в узел. Проделав такое построение для каждых трёх последовательных вершин, мы получим n новых узлов решетки. Нетрудно проверить, что эти узлы не совпадают и лежат внутри исходного n-угольника. В силу симметрии они образуют новый правильный n-угольник, лежащий внутри исходного.
  Повторив для него то же построение, мы получим еще один – еще меньший – правильный n-угольник, и так далее. Но бесконечно эта процедура продолжаться не может, так как исходный многоугольник содержит лишь конечное число узлов решетки. Противоречие.

  Способ 2. Рассмотрим равнобедренный тр-к ABC (A, B, C – последовательные вершины n-угольника). Из теоремы косинусов следует, что
cos ∠ABC  – рациональное число. Согласно задаче 61103 отсюда следует, что  ∠ABC = π/3, π/2  или /3, то есть  n = 3, 4 или 6.  Противоречие.

Замечания

1. Способ 1 взят из книги И.Н. Сергеева, С.Н. Олехника, С.Б. Гашкова "Примени математику", зад 16.22.

2. См. также статью А.А. Егорова "Решетки и правильные многоугольники", где подробно обсуждается не только эта задача, но и другие, связанные с ней результаты.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 5
Название Числа, дроби, системы счисления
Тема Системы счисления
параграф
Номер 1
Название Рациональные и иррациональные числа
Тема Дроби
задача
Номер 05.030

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .