Задача 60459

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Докажите, что множество простых чисел вида  p = 4k + 3  бесконечно.

Решение

Пусть  p₁ = 3,  p₂ = 7,  ...,  p_n  – все такие простые числа. Рассмотрим число  N = 4p₂...p_n + 3.  Оно не делится ни на одно из чисел p₁, p₂, ..., p_n, но содержит простой делитель вида  4k + 3.  Противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	1
Название	Простые числа
Тема	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители
задача
Номер	03.007
книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	11
Название	Остатки
Тема	Деление с остатком
задача
Номер	28