Задача 58305

Тема:    [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9

Условие

Обязательно ли треугольник равнобедренный, если центр его вписанной окружности одинаково удален от середин двух сторон?

Решение

Не обязательно. Докажем, что центр O вписанной окружности треугольника ABC со сторонами AB = 6, BC = 4 и CA = 8 одинаково удален от середин сторон AC и BC. Обозначим середины сторон AC и BC через B₁ и A₁, а основания перпендикуляров, опущенных из точки O на AC и BC, — через B₂ и A₂ (рис.). Так как A₁A₂ = 1 = B₁B₂ (см. задачу 3.2) и OA₂ = OB₂, то OA₁A₂ = OB₁B₂ т. е. OA₁ = OB₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	26
Название	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
Тема	Системы точек и отрезков
параграф
Номер	3
Название	Примеры и контрпримеры
Тема	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры
задача
Номер	26.022