Задача 58197

Тема:    [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Плоскость раскрашена в семь цветов. Обязательно ли найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1?

Решение

Приведем пример раскраски плоскости в семь цветов, для которой расстояние между любыми двумя одноцветными точками не равно 1. Разобьем плоскость на равные шестиугольники со стороной a и окрасим их, как показано на рис. (точки, принадлежащие двум или трем шестиугольникам, можно красить в любой из цветов этих шестиугольников). Наибольшее расстояние между точками одного цвета, лежащими в одном шестиугольнике, не превосходит 2a, а наименьшее расстояние между точками одного цвета, лежащими в разных шестиугольниках, не меньше длины отрезка AB (см. рис.). Ясно, что AB² = AC² + BC² = 4a² + 3a² = 7a² > (2a)². Поэтому, если 2a < 1 < a, т. е. 1/ < a < 1/2, то расстояние между точками одного цвета не может быть равно 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	23
Название	Делимость, инварианты, раскраски
Тема	Неопределено
параграф
Номер	6
Название	Задачи о раскрасках
Тема	Вспомогательная раскраска (прочее)
задача
Номер	23.037