Условие
Даны две окружности, длина каждой из которых
равна 100 см. На одной из них отмечено 100 точек, а на
другой — несколько дуг, сумма длин которых меньше 1 см.
Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы
ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу.
Решение
Совместим данные окружности и посадим в фиксированную точку одной из
них маляра. Будем вращать эту окружность и поручим маляру красить ту
точку окружности, мимо которой он проезжает, всякий раз, когда какая-либо
отмеченная точка лежит на отмеченной дуге. Нужно доказать,
что после полного оборота часть окружности останется неокрашенной.
Конечный результат работы маляра будет такой же, как если
бы ему поручили на
i-м обороте красить окружность, когда
i-я
отмеченная точка лежит на одной из отмеченных дуг, и сделали
бы 100 оборотов. Так как в этом случае при каждом обороте
окрашивается меньше 1 см, после 100 оборотов будет окрашено
меньше 100 см. Поэтому часть окружности останется неокрашенной.
Источники и прецеденты использования
