Задача 58066

Тема:    [ Наибольший треугольник ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Пусть O — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что если радиусы вписанных окружностей треугольников ABO, BCO, CDO и DAO равны, то ABCD — ромб.

Решение

Для определенности можно считать, что AOCO и DOBO. Пусть точки B₁ и C₁ симметричны точкам B и C относительно точки O. Тогда треугольник C₁OB₁ содержится внутри треугольника AOD, поэтому вписанная окружность S треугольника C₁OB₁ содержится внутри треугольника AOD. Предположим, что отрезок AD не совпадает с отрезком C₁B₁. Тогда окружность S переходит во вписанную окружность треугольника AOD при гомотетии с центром O и коэффициентом больше 1, т. е. r_AOD > r_C1OB1 = r_COB. Получено противоречие, поэтому A = C₁ и D = B₁, т. е. ABCD — параллелограмм.
В параллелограмме ABCD площади треугольников AOB и BOC равны, поэтому если у них равны радиусы вписанных окружностей, то равны и периметры, так как S = pr. Следовательно, AB = BC, т. е. ABCD — ромб.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	20
Название	Принцип крайнего
Тема	Принцип крайнего
параграф
Номер	4
Название	Наибольший треугольник
Тема	Наибольший треугольник
задача
Номер	20.020