Условие
Докажите, что если центр вписанной окружности
четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей,
то четырехугольник — ромб.
Решение
Пусть
O — точка пересечения диагоналей четырехугольника
ABCD.
Для определенности можно считать, что
AO
CO и
DOBO.
Пусть точки
B1 и
C1 симметричны точкам
B и
C относительно
точки
O. Так как точка
O является центром вписанной окружности
четырехугольника, то отрезок
B1C1 касается этой окружности.
Поэтому отрезок
AD может касаться этой окружности, только если
B1 =
D и
C1 =
A, т. е. если
ABCD — параллелограмм. В этот
параллелограмм можно вписать окружность, поэтому он — ромб.
Источники и прецеденты использования
