Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ остроугольный.

   Решение

В ячейки куба 11×11×11 поставлены по одному числа 1, 2, ..., 1331. Из одного углового кубика в противоположный угловой отправляются два червяка. Каждый из них может проползать в соседний по грани кубик, при этом первый может проползать, если число в соседнем кубике отличается на 8, второй – если отличается на 9. Существует ли такая расстановка чисел, что оба червяка смогут добраться до противоположного углового кубика?

   Решение

Тема:    [ Наибольший треугольник ]

Сложность: 5 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если центр вписанной окружности четырехугольника совпадает с точкой пересечения диагоналей, то четырехугольник — ромб.

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. Для определенности можно считать, что AOCO и DOBO. Пусть точки B₁ и C₁ симметричны точкам B и C относительно точки O. Так как точка O является центром вписанной окружности четырехугольника, то отрезок B₁C₁ касается этой окружности. Поэтому отрезок AD может касаться этой окружности, только если B₁ = D и C₁ = A, т. е. если ABCD — параллелограмм. В этот параллелограмм можно вписать окружность, поэтому он — ромб.

Источники и прецеденты использования