Задача 58004

Тема:    [ Композиции гомотетий ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Условие

Трапеции ABCD и APQD имеют общее основание AD, причем длины всех их оснований попарно различны. Докажите, что на одной прямой лежат точки пересечения следующих пар прямых:
а) AB и CD, AP и DQ, BP и CQ;
б) AB и CD, AQ и DP, BQ и CP.

Решение

а) Пусть K, L, M — точки пересечения прямых AB и CD, AP и DQ, BP и CQ. Эти точки являются центрами гомотетий H_K, H_L и H_M с положительными коэффициентами, переводящих соответственно отрезок BC в AD, AD в PQ и BC в PQ. Ясно, что H_LoH_K = H_M. Поэтому точки K, L и M лежат на одной прямой.
б) Пусть K, L, M — точки пересечения прямых AB и CD, AQ и DP, BQ и CP. Эти точки являются центрами гомотетий H_K, H_L и H_M, переводящих соответственно отрезок BC в AD, AD в QP, BC в QP, коэффициент первой гомотетии положительный, а двух последних — отрицательный. Ясно, что H_LoH_K = H_M. Поэтому точки K, L и M лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	4
Название	Композиции гомотетий
Тема	Композиции гомотетий
задача
Номер	19.025