Условие
Докажите, что композиция двух гомотетий с коэффициентами
k1 и
k2,
где
k1k2![$ \ne$](show_document.php?id=602532)
1, является гомотетией с коэффициентом
k1k2,
причем ее центр лежит на прямой, соединяющей центры этих гомотетий.
Исследуйте случай
k1k2 = 1.
Решение
Пусть
H =
H2oH1, где
H1 и
H2 — гомотетии с центрами
O1 и
O2 и коэффициентами
k1 и
k2. Введем
обозначения
A' =
H1(
A),
B' =
H1(
B),
A'' =
H2(
A'),
B'' =
H2(
B').
Тогда
![$ \overrightarrow{A'B'}$](show_document.php?id=602529)
=
k1![$ \overrightarrow{AB}$](show_document.php?id=602531)
и
![$ \overrightarrow{A''B''}$](show_document.php?id=602530)
=
k2![$ \overrightarrow{A'B'}$](show_document.php?id=602529)
,
т. е.
![$ \overrightarrow{A''B''}$](show_document.php?id=602530)
=
k1k2![$ \overrightarrow{AB}$](show_document.php?id=602531)
. Из этого с помощью предыдущей
задачи получаем, что преобразование
H при
k1k2![$ \ne$](show_document.php?id=602532)
1 является
гомотетией с коэффициентом
k1k2, а при
k1k2 = 1 — параллельным
переносом.
Остается проверить, что неподвижная точка преобразования
H
лежит на прямой, соединяющей центры гомотетий
H1 и
H2.
Так как
![$ \overrightarrow{O_1A'}$](show_document.php?id=602539)
=
k1![$ \overrightarrow{O_1A}$](show_document.php?id=602541)
и
![$ \overrightarrow{O_2A''}$](show_document.php?id=602537)
=
k2![$ \overrightarrow{O_2A'}$](show_document.php?id=602536)
,
то
![$ \overrightarrow{O_2A''}$](show_document.php?id=602537)
=
k2(
![$ \overrightarrow{O_2O_1}$](show_document.php?id=602542)
+
![$ \overrightarrow{O_1A'}$](show_document.php?id=602539)
) =
k2(
![$ \overrightarrow{O_2O_1}$](show_document.php?id=602542)
+
k1![$ \overrightarrow{O_1A}$](show_document.php?id=602541)
) =
k2![$ \overrightarrow{O_2O_1}$](show_document.php?id=602542)
+
k1k2![$ \overrightarrow{O_1O_2}$](show_document.php?id=602550)
+
k1k2![$ \overrightarrow{O_2A}$](show_document.php?id=602544)
.
Для неподвижной точки
X получаем уравнение
![$ \overrightarrow{O_2X}$](show_document.php?id=602548)
= (
k1k2 -
k2)
![$ \overrightarrow{O_1O_2}$](show_document.php?id=602550)
+
k1k2![$ \overrightarrow{O_2X}$](show_document.php?id=602548)
, поэтому
![$ \overrightarrow{O_2X}$](show_document.php?id=602548)
=
![$ \lambda$](show_document.php?id=602551)
![$ \overrightarrow{O_1O_2}$](show_document.php?id=602550)
,
где
![$ \lambda$](show_document.php?id=602551)
= (
k1k2 -
k2)/(1 -
k1k2).
Источники и прецеденты использования