Задача 58001

Тема:    [ Композиции гомотетий ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Преобразование f обладает следующим свойством: если A' и B' — образы точек A и B, то = k, где k — постоянное число. Докажите, что:
а) если k = 1, то преобразование f является параллельным переносом;
б) если k1, то преобразование f является гомотетией.

Решение

Из условия задачи следует, что отображение f взаимно однозначно.
а) Пусть точка A переходит при отображении f в точку A', а B — в точку B'. Тогда = + + = - + + = , т. е. преобразование f является параллельным переносом.
б) Рассмотрим три точки A, B и C, не лежащие на одной прямой. Пусть A', B' и C' — их образы при отображении f. Прямые AB, BC и CA не могут совпасть с прямыми A'B', B'C' и C'A' соответственно, так как в этом случае A = A', B = B' и C = C'. Пусть ABA'B'. Прямые AA' и BB' не параллельны, поскольку иначе четырехугольник ABB'A' был бы параллелограммом и  = . Пусть O — точка пересечения прямых AA' и BB'. Треугольники AOB и A'OB' подобны с коэффициентом подобия k, поэтому = k, т. е. O — неподвижная точка преобразования f. Следовательно, = = k для любой точки X, а это означает, что преобразование f является гомотетией с коэффициентом k и центром O.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	19
Название	Гомотетия и поворотная гомотетия
Тема	Гомотетия и поворотная гомотетия
параграф
Номер	4
Название	Композиции гомотетий
Тема	Композиции гомотетий
задача
Номер	19.022