Информация о задаче

Задача 57924

Темы:	[	Поворот на $90^\circ$	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата: ABCD, AB₁C₁D₁ и A₂B₂CD₂; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины A и C. Докажите, что медиана BM треугольника BB₁B₂ перпендикулярна отрезку D₁D₂.

Решение

Пусть R — поворот на 90^o, переводящий вектор $\overrightarrow{BC}$ в $\overrightarrow{BA}$ . Пусть, далее, $\overrightarrow{BC}$ = a, $\overrightarrow{CB_2}$ = b и $\overrightarrow{AB_1}$ = c. Тогда $\overrightarrow{BA}$ = Ra, $\overrightarrow{D_2C}$ = Rb и $\overrightarrow{AD_1}$ = Rc. Поэтому $\overrightarrow{D_2D_1}$ = Rb - a + Ra + Rc и 2 $\overrightarrow{BM}$ = a + b + Ra + c. Следовательно, R(2 $\overrightarrow{BM}$ ) = $\overrightarrow{D_2D_1}$ , так как R(Ra) = - a.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	1
Название	Поворот на 90 градусов
Тема	Поворот на $90^\circ$
задача
Номер	18.006