По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

   Решение

Три бегуна A, B и C бегут по параллельным дорожкам с постоянными скоростями. В начальный момент площадь треугольника ABC равна 2, через 5 с равна 3. Чему может быть она равна еще через 5 с?

   Решение

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Касающиеся окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Равные окружности S₁ и S₂ касаются окружности S внутренним образом в точках A₁ и A₂. Произвольная точка C окружности S соединена отрезками с точками A₁ и A₂. Эти отрезки пересекают S₁ и S₂ в точках B₁ и B₂. Докажите, что A₁A₂| B₁B₂.

Решение

Проведем диаметр окружности S, являющийся осью симметрии окружностей S₁ и S₂. Пусть точки C' и B₂' симметричны точкам C и B₂ относительно этого диаметра (рис.).
Окружности S₁ и S гомотетичны с центром гомотетии в точке A₁, причем при этой гомотетии прямая B₁B₂' переходит в прямую CC', поэтому эти прямые параллельны. Ясно также, что B₂B₂'| CC'. Поэтому точки B₁, B₂' и B₂ лежат на одной прямой, причем эта прямая параллельна прямой CC'.

Источники и прецеденты использования