Условие
Равные окружности
S1 и
S2 касаются окружности
S
внутренним образом в точках
A1 и
A2. Произвольная
точка
C окружности
S соединена отрезками с точками
A1
и
A2. Эти отрезки пересекают
S1 и
S2 в точках
B1 и
B2.
Докажите, что
A1A2|
B1B2.
Решение
Проведем диаметр окружности
S, являющийся осью симметрии
окружностей
S1 и
S2. Пусть точки
C' и
B2' симметричны
точкам
C и
B2 относительно этого диаметра (рис.).
Окружности
S1 и
S гомотетичны с центром гомотетии в точке
A1,
причем при этой гомотетии прямая
B1B2' переходит в прямую
CC', поэтому эти прямые параллельны. Ясно также, что
B2B2'|
CC'.
Поэтому точки
B1,
B2' и
B2 лежат на одной прямой, причем эта
прямая параллельна прямой
CC'.
Источники и прецеденты использования
