Информация о задаче

Задача 57599

Тема:

[

Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы

]

Сложность: 2+
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что:
а) a = r(ctg( $\beta$ /2) + ctg( $\gamma$ /2)) = r cos( $\alpha$ /2)/(sin( $\beta$ /2)sin( $\gamma$ /2));
б) a = r_a(tg( $\beta$ /2) + tg( $\gamma$ /2)) = r_acos( $\alpha$ /2)/(cos( $\beta$ /2)cos( $\gamma$ /2));
в) p - b = rctg( $\beta$ /2) = r_atg( $\gamma$ /2);
г) p = r_actg( $\alpha$ /2).

Решение

Пусть вписанная окружность касается стороны BC в точке K, а вневписанная — в точке L. Тогда BC = BK + KC = rctg( $\beta$ /2) + rctg( $\gamma$ /2) и BC = BL + LC = r_actgLBO_a + r_actgLCO_a = r_atg( $\beta$ /2) + r_atg( $\gamma$ /2). Кроме того, cos( $\alpha$ /2) = sin $\left(\vphantom{ \frac{\beta }{2} +\frac{\gamma }{2} }\right.$ ${\frac{\beta}{2}}$ + ${\frac{\gamma}{2}}$ $\left.\vphantom{ \frac{\beta }{2} +\frac{\gamma }{2} }\right)$ .
Согласно задаче 3.2 p - b = BK = rctg( $\beta$ /2) и p - b = CL = r_atg( $\gamma$ /2).
Если вписанная окружность касается продолжений сторон AB и AC в точках P и Q, то p = AP = AQ = r_actg( $\alpha$ /2).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	3
Название	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы
Тема	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы
задача
Номер	12.017