Задача 57586

Тема:    [ Теорема синусов ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Точки A₂ и C₂ симметричны A₁ и C₁ относительно середин сторон BC и AB. Докажите, что прямая, соединяющая вершину B с центром O описанной окружности, делит отрезок A₂C₂ пополам.

Решение

В треугольнике A₂BC₂ длины сторон A₂B и BC₂ равны b cos и b cos; прямая BO делит угол A₂BC₂ на углы 90^o - и 90^o - . Пусть прямая BO пересекает отрезок A₂C₂ в точке M. По теореме синусов A₂M = A₂B sin A₂BM/sin A₂MB = b coscos/sin C₂MB = C₂M.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	1
Название	Теорема синусов
Тема	Теорема синусов
задача
Номер	12.005