Задача 57489

Тема:    [ Неравенства для остроугольных треугольников ]

Сложность: 4+ Классы: 8

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты  AA₁, BB₁ и CC₁. Докажите, что периметр треугольника A₁B₁C₁ не превосходит половины периметра треугольника ABC.

Решение

Согласно задаче 1.59 отношение периметров треугольников A₁B₁C₁ и ABC равно r/R. Кроме того, r R/2 (задача 10.26).
Замечание. Используя результат задачи 12.72, легко проверить, что S_A1B1C1/S_ABC = r₁/2R₁ 1/4.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	10
Название	Неравенства для элементов треугольника
Тема	Неравенства для элементов треугольника.
параграф
Номер	12
Название	Неравенства для остроугольных треугольников
Тема	Неравенства для остроугольных треугольников
задача
Номер	10.078