ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57146
Тема:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Треугольник ABC правильный, M — некоторая точка. Докажите, что если числа AM, BM и CM образуют геометрическую прогрессию, то знаменатель этой прогрессии меньше 2.

Решение

Пусть O1 и O2 — такие точки, что  $ \overrightarrow{BO}_{1}^{}$ = 4$ \overrightarrow{BA}$/3 и  $ \overrightarrow{CO}_{2}^{}$ = 4$ \overrightarrow{CB}$/3. Легко проверить, что если BM > 2AM, то точка M лежит внутри окружности S1 радиуса 2AB/3 с центром O1 (см. задачу 7.14), а если CM > 2BM, то точка M лежит внутри окружности S2 радиуса 2AB/3 с центром O2. Так как  O1O2 > BO1 = 4AB/3, а сумма радиусов окружностей S1 и S2 равна 4AB/3, то эти окружности не пересекаются. Следовательно, если BM = qAM и CM = qBM, то q < 2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 7
Название Геометрические места точек
Тема Геометрические Места Точек
параграф
Номер 2
Название ГМТ - окружность или дуга окружности
Тема ГМТ - окружность или дуга окружности
задача
Номер 07.017

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .