ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57142
Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Метод координат на плоскости ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
Название задачи: Окружность Аполлония.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны две точки A и B. Найдите ГМТ M, для которых AM : BM = k (окружность Аполлония).

Решение

При k = 1 получаем серединный перпендикуляр к отрезку AB. В дальнейшем будем считать, что k$ \ne$1.
Введем систему координат на плоскости так, чтобы точки A и B имели координаты (- a, 0) и (a, 0) соответственно. Если точка M имеет координаты (x, y), то  $ {\frac{AM^2}{BM^2}}$=$ {\frac{(x+a)^2+y^2}{(x-a)^2+y^2}}$. Уравнение  $ {\frac{AM^2}{BM^2}}$=k2 приводится к виду

$\displaystyle \left(\vphantom{x+\frac{1+k^2}{1-k^2}a}\right.$x + $\displaystyle {\frac{1+k^2}{1-k^2}}$a$\displaystyle \left.\vphantom{x+\frac{1+k^2}{1-k^2}a}\right)^{2}_{}$ + y2 = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2ka}{1-k^2}}\right.$$\displaystyle {\frac{2ka}{1-k^2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2ka}{1-k^2}}\right)^{2}_{}$.

Это уравнение является уравнением окружности с центром  $ \left(\vphantom{-\frac{1+k^2}{1-k^2}a,0}\right.$ - $ {\frac{1+k^2}{1-k^2}}$a, 0$ \left.\vphantom{-\frac{1+k^2}{1-k^2}a,0}\right)$ и радиусом  $ {\frac{2ka}{\vert 1-k^2\vert}}$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 7
Название Геометрические места точек
Тема Геометрические Места Точек
параграф
Номер 2
Название ГМТ - окружность или дуга окружности
Тема ГМТ - окружность или дуга окружности
задача
Номер 07.014

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .