Условие
Докажите, что если число n не является степенью простого числа, то существует выпуклый n-угольник со сторонами длиной 1, 2,..., n, все углы которого равны.
Решение
Пусть e0, ..., en–1 – векторы сторон правильного n-угольника. Достаточно доказать, что, переупорядочив эти векторы, можно получить такой набор векторов {a1, ..., an}, что 
kak = 0.
Число n по условию можно представить в виде n = pq, где p и q взаимно просты. Докажем, что набор
{e0, ep, ..., e(q–1)p; eq, eq+p, ..., eq+(q–1)p, ...; e(p–1)q+p, ..., e(p–1)q+(q–1)p}, где все номера берутся по модулю n, – искомый.
Заметим сначала, что если xq + yp ≡ x'q + y'p (mod pq), то x ≡ x' (mod p) и y ≡ y' (mod q), поэтому в рассматриваемом наборе каждый из векторов e0, ..., en–1 встречается ровно один раз.
Концы векторов eq, eq+p, ..., eq+(q–1)p с общим началом образуют правильный q-угольник, поэтому их сумма равна нулю. Кроме того, векторы e0, ep, ..., e(q–1)p переходят в eq, eq+p, ..., eq+(q–1)p, при повороте на угол φ = 2π/p. Поэтому если e0 + 2ep + ... + qe(q–1)p = b, то
(q + 1)eq + (q + 2)eq+n + ... + 2qeq+(q–1)p = q(eq + ... + eq+(q–1)p) + eq + 2eq+p + ... + qeq+(q–1)p = Rφb, где Rφb – вектор, полученный из вектора b поворотом на угол φ.
Аналогичные рассуждения показывают, что для рассматриваемого набора векторов kak = b + Rφb + ... + R(p–-1)φb = 0.
Источники и прецеденты использования
