Задача 57088

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

а) Правильный n-угольник A₁...A_n вписан в окружность радиуса 1 с центром O;  e_i = ,  u – произвольный вектор.
Докажите, что   (u, e_i)e_i = ½ nu.

б) Из произвольной точки X опущены перпендикуляры XC₁,..., XC_n на стороны правильного n-угольника (или на их продолжения).
Докажите, что     где O – центр n-угольника.

Решение

  а) Пусть    Опустим из точки M перпендикуляры MB_i на прямые OA_i.     Точки B₁, ..., B_n лежат на окружности с диаметром OM и являются вершинами правильного n-угольника при n нечётном и вершинами правильного ⁿ/₂-угольника, взятыми по два раза, при n чётном (см. задачу 56549). Поэтому утверждение следует из задачи 55373 б).

  б) Пусть D₁, ..., D_n – середины сторон данного многоугольника,     и      Тогда   
А так как     (см. задачу 55373 а), то   

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	6
Название	Многоугольники
Тема	Многоугольники
параграф
Номер	6
Название	Правильные многоугольники
Тема	Правильные многоугольники
задача
Номер	06.075