ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56867
Темы:    [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что если угол A треугольника ABC равен  120o, то центр описанной окружности и ортоцентр симметричны относительно биссектрисы внешнего угла A.
б) В треугольнике ABC угол A равен  60oO — центр описанной окружности, H — ортоцентр, I — центр вписанной окружности, а Ia — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что IO = IH и IaO = IaH.

Решение

а) Пусть S — описанная окружность треугольника ABCS1 — окружность, симметричная S относительно прямой BC. Ортоцентр H треугольника ABC лежит на окружности S1 (задача 5.9), поэтому достаточно проверить, что центр O окружности S тоже принадлежит S1 и биссектриса внешнего угла A проходит через центр окружности S1. Тогда POAH — ромб, так как PO| HA.
Пусть PQ — диаметр окружности S, перпендикулярный прямой BC, причем точки P и A лежат по одну сторону от прямой BC. Тогда AQ — биссектриса угла A, а AP — биссектриса внешнего угла A. Так как  $ \angle$BPC = 120o = $ \angle$BOC, то точка P является центром окружности S1, а точка O принадлежит окружности S1.
б) Пусть S — описанная окружность треугольника ABCQ — точка пересечения биссектрисы угла BAC с окружностью S. Легко проверить, что Q — центр окружности S1, симметричной окружности S относительно прямой BC. Кроме того, точки O и H лежат на окружности S1, а так как  $ \angle$BIC = 120o и  $ \angle$BIaC = 60o (см. задачу 5.3), то IIa -- диаметр окружности S1. Ясно также, что  $ \angle$OQI = $ \angle$QAH = $ \angle$AQH, так как OQ| AH и HA = QO = QH. Поэтому точки O и H симметричны относительно прямой IIa.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 4
Название Треугольники с углами 60 и 120 градусов
Тема Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$
задача
Номер 05.032

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .