Условие
Через точку
M, лежащую внутри параллелограмма
ABCD,
проведены прямые
PR и
QS, параллельные сторонам
BC и
AB
(точки
P,
Q,
R и
S лежат на сторонах
AB,
BC,
CD и
DA
соответственно). Докажите, что прямые
BS,
PD и
MC пересекаются в
одной точке.
Решение
Через точку
N пересечения прямых
BS и
CM
проведем прямые
Q1S1 и
P1R1, параллельные
прямым
QS и
PR (точки
P1,
Q1,
R1 и
S1 лежат на
сторонах
AB,
BC,
CD и
DA). Пусть
F и
G — точки
пересечения прямых
PR и
Q1S1,
P1R1 и
QS. Так
как точка
M лежит на диагонали
NC
параллелограмма
NQ1CR1, то
SFQ1QM =
SMRR1G
(задача
4.19), а значит,
SNQ1QG =
SNFRR1.
Точка
N лежит на диагонали
BS параллелограмма
ABQS,
поэтому
SAP1NS1 =
SNQ1QG =
SNFRR1.
Следовательно, точка
N лежит на диагонали
PD
параллелограмма
APRD.=-1
Источники и прецеденты использования
