Условие
Докажите, что любой выпуклый многоугольник можно
разрезать двумя взаимно перпендикулярными прямыми
на четыре фигуры равной площади.
Решение
Обозначим площадь многоугольника через
S.
Пусть
l — произвольная прямая. Введем систему координат, для
которой прямая
l является осью
Ox. Пусть
S(
a) — площадь той
части многоугольника, которая лежит ниже прямой
y =
a. При изменении
a
от -
до +
S(
a) непрерывно меняется от 0 до
S,
поэтому
S(
a) =
S/2 для некоторого
a, т. е. прямая
y =
a делит
площадь многоугольника пополам. Аналогично существует прямая,
перпендикулярная
l и делящая площадь многоугольника пополам. Эти две
прямые разбивают многоугольник на части, площади которых
равны
S1,
S2,
S3 и
S4 (рис.). Так как
S1 +
S2 =
S3 +
S4
и
S1 +
S4 =
S2 +
S3, то
S1 =
S3 =
A и
S2 =
S4 =
B. При
повороте прямой
l на
90
o A заменится на
B, а
B — на
A. Так как
A и
B изменяются при повороте
l непрерывно, то
для некоторого положения прямой
A =
B, т. е. площади всех четырех
фигур равны.
Источники и прецеденты использования