Задача 56774

Тема:    [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

Точки K и M — середины сторон AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD, точки L и N расположены на сторонах BC и AD так, что KLMN — прямоугольник. Докажите, что площадь четырехугольника ABCD вдвое больше площади прямоугольника KLMN.

Решение

Пусть L₁ и N₁ — середины сторон BC и AD соответственно. Тогда KL₁MN₁ — параллелограмм и его площадь равна половине площади четырехугольника ABCD (см. задачу 1.37, а)). Поэтому достаточно доказать, что площади параллелограммов KLMN и KL₁MN₁ равны. Если эти параллелограммы совпадают, то доказывать больше ничего не нужно, а если они не совпадают, то, так как середина отрезка KM является их центром симметрии,  LL₁ || NN₁ и  BC || AD. В этом случае средняя линия KM трапеции ABCD параллельна основаниям BC и AD, и поэтому высоты треугольников KLM и KL₁M, опущенные на сторону KM, равны, т. е. равны площади параллелограммов KLMN и KL₁MN₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	4
Название	Площади частей, на которые разбит четырехугольник
Тема	Площадь четырехугольника
задача
Номер	04.024